Question

18．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，且AB∥CD，過點A作⊙O的切線，與CD，DB的延長線分別交于點P，Q．
（1）證明：AD²=AB•DP；
（2）若PD=3AB=3，BQ=$\sqrt{2}$，求弦CD的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出△DAP∽△ABD，從而$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{AD}$，由此能證明AD²=AB•DP．
（2）推導出DQ=3$\sqrt{2}$，QA=$\sqrt{6}$，PA=2$\sqrt{6}$，由此能求出CD．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，∴∠QAB=∠ADB，
∵QA是⊙O的切線，∴∠QAB=∠ADB，
∴∠APD=∠ADB，
又PA是⊙O的切線，∴∠PAD=∠DBA，
∴△DAP∽△ABD，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{AD}$，
∴AD²=AB•DP．
解：（2）∵AB∥CD，且PD=2AB，∴$\frac{AQ}{PQ}=\frac{BQ}{DQ}=\frac{1}{3}$，
由BQ=$\sqrt{2}$，知DQ=3$\sqrt{2}$，
∵QA是⊙O的切線，∴QA²=QB$•QD=\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=6，∴QA=$\sqrt{6}$，
由$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{3}$，知PA=2$\sqrt{6}$，
又PA是⊙O的切線，∴PA²=PD•PC，
即24=3PC，解得PC=8，
∴CD=8-3=5．

點評 本題考查等式的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、切線性質、弦切角定理的合理運用．