Question

3．如圖所示，正方形BCDE所在的平面與平面ABC互相垂直，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，F(xiàn)，G分別為CE，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FG∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE中點(diǎn)H，連結(jié)HF、HG，則HF∥BC，HG∥AE，從而平面GHF∥平面AED，由此能證明FG∥平面ADE．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，在平面ABC中過(guò)B作BC的垂線為x軸，BC為y軸，BE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取BE中點(diǎn)H，連結(jié)HF、HG，
∵F，G分別為CE，AB的中點(diǎn)，
∴HF∥BC，HG∥AE，
∵GH∩HF=H，AE∩DE=E，GH、HF?平面GHF，AE、DE?平面AED，
∴平面GHF∥平面AED，
∵FG?平面GHF，∴FG∥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵正方形BCDE所在的平面與平面ABC互相垂直，∠ABC=120°，AB=BC=2，
∴以B為原點(diǎn)，在平面ABC中過(guò)B作BC的垂線為x軸，BC為y軸，BE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（$\sqrt{3}$，-1，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，2），
設(shè)平面CAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
 則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角B-AC-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．