Question

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，方程

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

=1(a＞b＞c＞0)表示中心在原點(diǎn)、其軸與坐標(biāo)軸重合的某橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程．2a，2b，2c分別叫做橢球面的長軸長，中軸長，短軸長．類比在平面直角坐標(biāo)系中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，若橢球面的中心在原點(diǎn)、其軸與坐標(biāo)軸重合，平面xOy截橢球面所得橢圓的方程為

x2

9

+

y2

16

=1，且過點(diǎn)M(1，2，

23

)，則此橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

16

+

z2

36

=1

．

Answer 1

分析：類比求曲線方程的方法，我們可以用坐標(biāo)法，求空間坐標(biāo)系中橢球面的方程．只須求出橢球面的長軸長，中軸長，短軸長，類比在平面直角坐標(biāo)系中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，易得橢球面的方程．

解答：解：根據(jù)中心在原點(diǎn)、其軸與坐標(biāo)軸重合的某橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，設(shè)此橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

16

+

z2

c2

=1，
∵且過點(diǎn)M(1，2，

23

)，
將它的坐標(biāo)代入橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

9

+

y2

16

+

z2

c2

=1，得

12

9

+

22

16

+

( 23 )2

c2

=1，∴c²=36，
故答案為：

x2

9

+

y2

16

+

z2

36

=1

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．由于空間直角坐標(biāo)系中橢球面標(biāo)準(zhǔn)方程與平面直角坐標(biāo)系中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法求解．