Question

（2011•奉賢區(qū)二模）（理）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，滿足條件[x]²+[y]²+[z]²≤1的點(diǎn)（x，y，z）構(gòu)成的空間區(qū)域Ω₂的體積為V₂（[x]，[y]，[z]分別表示不大于x，y，z的最大整數(shù)），則V₂=

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)方程，對(duì)于x，y≥0時(shí)，求出x，y的整數(shù)解，分別對(duì)|[x]|=1、0時(shí)確定x的范圍，對(duì)應(yīng)的y，z的范圍，求出體積，再求其和．

建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，是以（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（1，0，1），（0，1，0）為頂點(diǎn)體積為1的立方體向x軸正負(fù)方向、y軸正負(fù)方向、z軸正負(fù)方向各延伸一個(gè)體積為1的立方體，即由這7個(gè)立方體組成的圖形，體積為7．

解答：解：滿足條件[x]²+[y]²+[z]²≤1的點(diǎn)（x，y，z）x，y，z≥0時(shí)，[x]，[y]，[z]的整解有（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）（0，-1，0），（0，0，-1），（-1，0，0）
顯然[x]的最大值是1
|[x]|=1時(shí)，1≤x＜2，或者-1≤x＜0，|[y]|=0，0≤y＜1，|[z]|=0，0≤z＜1，所圍成的區(qū)域是棱長為1的正方體
同理可求|[x]|=0時(shí)，0≤x＜1，|[y]|=1或|[z]|=1的體積
V₂=7×1=7
故答案為：7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的點(diǎn)的軌跡的求解，幾何體的體積的求解，考查探究性問題，是創(chuàng)新題，考查分類討論思想，是中檔題．