Question

函數(shù)f（x）=x²-2|x|+2的定義域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，則符合條件的數(shù)組（a，b）的組數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=x²-2|x|+2的值域?yàn)閇1，+∞）可得a≥

1

2

，此時(shí)函數(shù)f（x）=x²-2|x|+2=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，結(jié)合若函數(shù)f（x）=x²-2|x|+2的定義域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²-2|x|+2=（|x|-1）²+1≥1，
故2a≥1，即a≥

1

2

，
此時(shí)函數(shù)f（x）=x²-2|x|+2=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
若函數(shù)f（x）=x²-2|x|+2的定義域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，則：
①當(dāng)

1

2

≤a＜b＜1時(shí)，
∴f（a）=2b，f（b）=2a
即a²-2a+2=2b
b²-2b+2=2a
兩式相減得：（a-b）（a+b）-2（a-b）=2（b-a）
即（a-b）（a+b）=0
∵a＜b，a-b≠0，而b＞a≥

1

2

，a+b＞0
∴不存在滿(mǎn)足條件的數(shù)組，
②當(dāng)

1

2

≤a＜1＜b時(shí)，
函數(shù)最小值即為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，
∴2a=1，a=

1

2

，
若 b-1＜1-a，則f（a）=2b，2b=

5

4

，b=

5

8

（舍去）；
若 b-1＞1-a，則f（b）=2b，b²-4b+2=0，b=2+

2

 或b=2-

2

 （舍去）；
③當(dāng)1＜a＜b時(shí)，
f（b）=2b且f（a）=2a
b²-2b+2=2b
a²-2a+2=2a
a，b必然有一根小于1，矛盾
∴不存在滿(mǎn)足條件的數(shù)組，
綜上所述a=

1

2

，b=2+

2

，即符合條件的數(shù)組（a，b）的組數(shù)為1，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論思想，難度較大，屬于難題．