Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≥f（x₂），則稱(chēng)函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：
①f（0）=0；②f（

x

3

）=

1

2

f（x）f（

x

3

）=

1

2

f（x）；③f（1-x）=1-f（x），
則f（

1

6

）=

 

；f（

1

4

）+f（

1

7

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，可求得f（1）=1，f（

1

3

）=f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

6

）=f（

1

9

）=

1

4

，利用f（1-x）+f（x）=1及函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，即可求得答案．

解答： 解：依題意知，f（1-1）=1-f（1）=f（0）=0，
∴f（1）=1；
令1-x=x，得x=

1

2

，
由③f（1-x）=1-f（x）得f（

1

2

）=

1

2

；
∴f（

1

6

）=f（

1 2

3

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
∴f（

5

6

）=

3

4

；
令x=

1

4

，則f（

3

4

）=1-f（

1

4

），
又f（

3 4

3

）=

1

2

f（

3

4

），即f（

1

4

）=

1

2

f（

3

4

）=

1

2

[1-f（

1

4

）]，
∴3f（

1

4

）=1，解得f（

1

4

）=

1

3

；
同理可得：f（

1

3

）=

1

2

，f（

1

9

）=

1

4

，f（

8

9

）=

3

4

；
∵

5

6

＜

6

7

＜

8

9

，f（

5

6

）=f（

8

9

）=

3

4

，函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，
∴f（

6

7

）=

3

4

，故f（

1

7

）=1-

3

4

=

1

4

，
∴f（

1

4

）+f（

1

7

）=

1

3

+

1

4

=

7

12

．
故答案為：

1

4

，

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法的靈活應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于難題．