如圖，直線y=
1
2
x與拋物線y=
1
8
x2-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點．
（1）求點Q的坐標；
（2）當P為拋物線上位于線段AB下方（含A、B）的動點時，求△OPQ面積的最大值．
（1）解方程組
y=
1
2
x
y=
1
8
x2-4
得
x1=-4
y1=-2
或
x2=8
y2=4
即A（-4，-2），B（8，4），
從而AB的中點為M（2，1），
由kAB═
1
2
，直線AB的垂直平分線方程y-1=-2（x-2）．
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
（2）直線OQ的方程為x+y=0，設P（x，
1
8
x2-4）．
∵點P到直線OQ的距離
d=
|x+
1
8
x2-4|
2
=
1
8
2
|x2+8x-32|．
|OQ|=5
2
，∴S△OPQ=
1
2
|OQ|d=
5
16
|x2+8x-32|
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點，且P不在直線OQ上，
∴-4≤x＜4
3
-4或4
3
-4＜x≤8．
∵函數(shù)y=x2+8x-32在區(qū)間[-4，8]上單調遞增，
∴當x=8時，△OPQ的面積取到最大值30．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）.點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點.
（i）設直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；
（ii）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（14分）（2011•湖北）平面內與兩定點A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（Ⅱ）當m=﹣1時，對應的曲線為C1；對給定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C2，設F1、F2是C2的兩個焦點．試問：在C1上，是否存在點N，使得△F1NF2的面積S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點A（2，0），拋物線C：x2=4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=（　�。�
A．2：
5
B．1：2C．1：
5
D．1：3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知△ABC的三個頂點都在拋物線y2=2px（p＞0）上，拋物線的焦點F在AB上，AB的傾斜角為60°，|BF|=|CF|=4，則直線AC的斜率為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

某隧道橫截面由拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如圖，某卡車空車時可以通過該隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，問此車能否通過此隧道？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

己知拋物線y=x2與直線y=k（x+2）交于A，B兩點，且OA⊥OB，則k=（　�。�
A．2B．-2C．
1
2
D．-
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是拋物線形拱橋，當水面離橋頂4m時，水面寬8m；
（1）試建立坐標系，求拋物線的標準方程；
（2）若水面上升1m，則水面寬是多少米？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M（
3
，0）的直線與拋物線相交于A、B兩點，與拋物線的準線相交于點C，|BF|=2，則△BCF與△ACF的面積之比
S△BCF
S△ACF
=（　�。�
A．
4
5
B．
2
3
C．
4
7
D．
1
2

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