Question

7．已知圓C：x²+y²-2x-4y+1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+my+1=0對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（m，m）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則|PQ|=（　�。�

• A． 3
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\frac{{12\sqrt{13}}}{13}$

Answer 1

分析 由題意直線l：x+my+1=0過(guò)圓心C（1，2），從而得到m=-1．圓C半徑r=2，當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=-1，把x=-1代入圓C，得P（-1，2）；當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=k（x+1）-1，由圓心C（1，2）到切線y=k（x+1）-1的距離d=r，求出切線方程，與圓聯(lián)立，得Q（$\frac{23}{13}$，$\frac{2}{13}$），由此能求出|PQ|．

解答 解：∵圓C：x²+y²-2x-4y+1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+my+1=0對(duì)稱，
∴直線l：x+my+1=0過(guò)圓心C（1，2），
∴1+2m+1=0．解得m=-1．
圓C：x²+y²-2x-4y+1=0的圓心（1，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=-1，
圓心C（1，2）到x=-1的距離為2，成立，
把x=-1代入圓C：x²+y²-2x-4y+1=0，得y=2，∴P（-1，2），
當(dāng)過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=k（x+1）-1，
圓心C（1，2）到切線y=k（x+1）-1的距離d=$\frac{|k-2+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得k=$\frac{5}{12}$，
∴切線方程為y=$\frac{5}{12}$（x+1）-1，即5x-12y-7=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y-7=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得169x²-598x+529=0，解得x=$\frac{23}{13}$，y=$\frac{2}{13}$，∴Q（$\frac{23}{13}$，$\frac{2}{13}$），
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{23}{13}+1）^{2}+（\frac{2}{13}-2）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．