Question

19．已知三棱柱ABC-A′B′C′的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若$AB=1，AC=\sqrt{3}$，AB⊥AC，$AA'=2\sqrt{3}$，則球O的直徑為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的側(cè)面對角線是球的直徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若$AB=1，AC=\sqrt{3}$，AB⊥AC，$AA'=2\sqrt{3}$，
所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，
△ABC的外心是斜邊的中點(diǎn)，上下底面的中心連線垂直底面ABC，其中點(diǎn)是球心，
即側(cè)面B₁BCC₁，經(jīng)過球的球心，球的直徑是側(cè)面B₁BCC₁的對角線的長，
因?yàn)?AB=1，AC=\sqrt{3}$，BC=2，BC₁=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
所以球的直徑為：4．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的直徑的求解，考查計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．