Question

已知過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

5

2

p，求AB所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若AB⊥Ox，則|AB|=2p＜

5

2

p，不合題意．所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為y=k（x-

p

2

），k≠0．聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得滿足條件的k值，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若AB⊥Ox，則|AB|=2p＜

5

2

p，不合題意．
所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，
則直線AB的方程為y=k（x-

p

2

），k≠0．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去x，
整理得ky²-2py-kp²=0．
由韋達(dá)定理得，y₁+y₂=

2p

k

，y₁y₂=-p²．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 1 k2 )(y1-y2)2

=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=2p（1+

1

k2

）=

5

2

p．
解得k=±2．
∴AB所在的直線方程為y=2（x-

p

2

）或y=-2（x-

p

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，難度中檔．