Question

正數(shù)數(shù)列{a_n}中，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表達(dá)式并證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：推理和證明

分析：（1）分別令n=1，2，3解方程即可求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表達(dá)式并利用歸納法即可得到結(jié)論．

解答： （1）解：∵S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），∴a₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），解得a₁=1
由a₁+a₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）得a₁+a₂=

1

2

（

a 2 2 +1

a2

），得a₂=

2

-1．
由a₁+a₂+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

）得a₃=

3

-

2

，
∴a₁=1，a₂=

2

-1，a₃=

3

-

2

．
（2）猜想：a_n=

n

-

n-1

．
證明：①n=1時顯然正確；②設(shè)n=k時成立，即a_k=

k

-

k-1

，
則n=k+1時，a_k+1=S_k+1-S_k=a_k+1-1=0，
解得a_k+1=

k+1

-

k

（取正值）．即n=k+1時命題也成立．
由①②知命題對任意n∈N₊都成立．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解和證明，利用數(shù)學(xué)歸納法是解決本題的關(guān)鍵．