Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別是AD₁、BD的中點．
（1）求證：PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）求證：平面APQ∥平面A₁C₁B．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，CD₁，則PQ∥CD₁，所以根據(jù)線面平行的判定定理便可得到PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）通過圖形便可看出，AP∥BC₁，AQ∥A₁C₁，所以根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理即可得到平面APQ∥平面A₁C₁B．

解答： 證明：（1）如下圖，連接AC、CD₁；

∵P、Q分別是AD₁、AC的中點，∴PQ∥CD₁；
又PQ?平面DCC₁D₁，CD₁?平面DCC₁D₁；
∴PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）∵AD₁∥BC₁，∴AP∥BC₁；
BC₁?平面A₁C₁B，AP?平面A₁C₁B；
∴AP∥平面A₁C₁B；
同理，AQ∥平面A₁C₁B，AQ∩AP=A；
∴平面APQ∥平面A₁C₁B．

點評：考查中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理．