Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知表達(dá)式及奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）在R上的解析式，易判斷其單調(diào)性，再把不等式f（x）≤9f（x+t）進(jìn)行等價變形，轉(zhuǎn)化為兩個自變量的值間的不等關(guān)系，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決．

解答： 解：當(dāng)x≤0時，f（x）=x²，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，(x≤0) -x2，(x＞0)

，
則函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
∵9f（x+t）=3²f（x+t）=f（3x+3t），
∴對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，
等價為對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤f（3x+3t）恒成立，
即x≥3x+3t，即x≤-

3

2

t恒成立，
∵x∈[t，t+2]，
∴t+2≤-

3

2

t恒成立，
即

5

2

t≤-2，解t≤-

4

5

，
則實(shí)數(shù)t的最大值為-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力．