Question

13．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果對角線AC₁與過點A的相鄰三個面所成的角分別是α，β，γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ=2．

Answer 1

分析 由已知得cosα=$\frac{A{B}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosβ=$\frac{A{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosγ=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$，由此能求出cos²α+cos²β+cos²γ的值．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C₁⊥面AB₁，
∴AC₁與面AB₁所成的角為∠C₁AB₁=α，
同理AC₁與面AD₁所成的角為∠C₁AD₁=β，
AC₁與面AC所成的角為∠C₁AC=γ，
∵cosα=$\frac{A{B}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosβ=$\frac{A{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosγ=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$，
∴cos²α+cos²β+cos²γ
=$\frac{A{{B}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{{D}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{C}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{D}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$+$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=$\frac{2（A{B}^{2}+A{D}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}）}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=$\frac{2A{{C}_{1}}^{2}}{A{{C}_{1}}^{2}}$
=2．
故答案為：2．

點評 本題考查線面角的余弦值的平方和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意長方體的性質(zhì)的合理運用．