Question

如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，且使兩個三角板所在平面互相垂直，若∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BDC=60°，BC=6．
（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．
（Ⅲ）求B到平面ACD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直提BD⊥AC，又AC⊥AB，從而AC⊥平面ABD，由此能證明平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，作EF⊥CD于F，連AE，AF，則AE⊥平面BCD，∠AFE為二面角A-CD-B的平面角．由此能求出二面角A-CD-B的余弦值．
（Ⅲ）作BH⊥AD于H，則BH⊥平面，由此能求出B到平面ACD的距離．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：由于平面ABC⊥平面BCD，且BD⊥BC，
則BD⊥平面ABC，而AC?平面ABC，則BD⊥AC…①，
又AC⊥AB…②，BD∩AB=B…③，
所以AC⊥平面ABD，
又因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：取BC中點(diǎn)E，作EF⊥CD于F，
連AE，AF，則AE⊥平面BCD，∠AFE為二面角A-CD-B的平面角．
Rt△ABC中，BC=6，則AB=AC=3

2

，AE=3，EC=3，EF=

3

2

，
Rt△EFA中，tan∠AFE=

AE

EF

=2，
∴二面角A-CD-B的正切值為2，
∴二面角A-CD-B的余弦值為

5

5

．
（Ⅲ）作BH⊥AD于H，則BH⊥平面ACD，
Rt△ABD中，
BD=2

3

，AD=

30

，
BH=

AB•BD

AD

=

6 5

5

，
∴B到平面ACD的距離為

6 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．