Question

設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈R的導(dǎo)函數(shù)f′（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），則下列不等式成立的是（　�。�

A．f（0）＜e^-1f（1）＜e²f（2）

B．e²f（2）＜f（0）＜e^-1f（1）

C．e²f（2）＜e^-1f（1）＜f（0）

D．e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）

Answer 1

分析：通過(guò)分析給出的選項(xiàng)的特點(diǎn)，每一個(gè)選項(xiàng)中要比較的三個(gè)式子都涉及含有e的負(fù)指數(shù)冪及f（x），所以設(shè)想構(gòu)造函數(shù)
g（x）=e^-x•f（x），通過(guò)求其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合題目給出的f′（x）＜f（x），得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，然后在函數(shù)g（x）的解析式中分別取x=0，1，-2，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答：解：構(gòu)造輔助函數(shù)，令g（x）=e^-x•f（x），
則g′（x）=（e^-x）′•f（x）+e^-x•f′（x）
=-e^-x•f（x）+e^-x•f′（x）
=e^-x（f′（x）-f（x））．
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））＜0，
∴函數(shù)令g（x）=e^-x•f（x）為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)．
則g（-2）＞g（0）＞g（1）．
∵g（0）=e⁰f（0）=f（0），
g（1）=e^-1f（1），
g（-2）=e²f（-2），
又f（-x）=f（x），
∴g（-2）=e²f（2）
∴e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等關(guān)系與不等式，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合選項(xiàng)的特點(diǎn)，正確構(gòu)造出輔助函數(shù)，使抽象問(wèn)題變得迎刃而解，此題是中檔題．