Question

16．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈Z^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x_n，則x₁•x₂•x₃…•x_n的值為（　　）

• A． $\frac{1}{n}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{1}{n+1}$
• D． 1

Answer 1

分析 欲判x₁•x₂•…•x_n的值，只須求出切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：對y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，
在點（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
不妨設(shè)y=0，x_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
則x₁•x₂•x₃…•x_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
故選：C．

點評 本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．