Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示曲線C，給出以下命題：
①曲線C不可能為圓；             
②若曲線C為雙曲線，則t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，則曲線C為橢圓；   
④若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜

5

2

．
其中真命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①當4-t=t-1＞0，即t=

5

2

時，曲線C表示圓；
②若曲線C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，解出即可判斷出；
③若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解出即可得出曲線C為橢圓；
④若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則4-t＞t-1＞0．

解答： 解：方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示曲線C，以下命題：
①當4-t=t-1＞0，即t=

5

2

時，曲線C表示圓，因此不正確；
②若曲線C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正確；
③若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠

5

2

，則曲線C為橢圓，因此不正確；
④若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜

5

2

，正確．
綜上可得真命題為：②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查了分類討論的思想方法，考查了橢圓雙曲線圓的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．