Question

已知為曲線上的點,直線過點,且與曲線相切,直線交曲線于,交直線于點.

（1） 求直線的方程；

（2）設的面積為，求的值；

（3）設由曲線,直線,所圍成的圖形的面積為，求證的值為與無關的常數.

 

Answer 1

（1）；（2）.（3）

【解析】

試題分析：（1）利用導數的求導公式先把的導函數求出，然后利用導數的幾何意義求切線的斜率進而求出切線方程；（2）聯立曲線方程得出相應點的坐標，然后應用點到直線的距離公式計算距離，最終求出三角形的面積；（3）利用定積分求出其中一個的面積（這時其中會有參量），然后計算面積的比值說明是一個常數.

試題解析：

（1）由得：，當時，

∴的方程為即

（2）得B點坐標為（）

由得D點坐標（,-4-2）

點A 到直線BD的距離為 =

∴

（3）

∴

綜上可知的值為與無關的常數，這常數是 .

考點：（1）導數的幾何意義； （2）三角形的面積計算； （3）定積分的應用