已知橢圓
x24
+y2=1

(1)過橢圓上點P作x軸的垂線PD,D為垂足,當點P在橢圓上運動時,求線段PD中點M的軌跡方程;
(2)若直線x-y+m=0與已知橢圓交于A、B兩點,R(0,1),且|RA|=|RB|,求實數(shù)m的值.
分析:(1)確定P、M坐標之間的關(guān)系,利用點P在橢圓上,即可求得線段PD中點M的軌跡E的方程;
(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理確定AB的中點坐標,利用R(0,1),且|RA|=|RB|,可得斜率之間的關(guān)系,從而可得結(jié)論.
解答:解:(1)設PD中點M(x,y),P(x′,y′),依題意x=x′,y=
y′
2

∴x′=x,y′=2y
又點P在
x2
4
+y2=1
上,∴
x′2
4
+y′2=1
,即
x2
4
+4y2=1

∴線段PD的中點M軌跡方程為
x2
4
+4y2=1

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則
直線x-y+m=0與已知橢圓方程聯(lián)立,消去y可得
5
4
x2+2mx+m2-1=0

∴x1+x2=-
8m
5

∴y1+y2=x1+x2+2m=
2m
5

∴AB的中點坐標為(-
4m
5
,
m
5

∵R(0,1),且|RA|=|RB|,
m
5
-1
-
4
5
m
×1=-1

m=-
5
3
點評:本題考查軌跡方程的求法,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x24
+y2=1
的左、右兩個頂點分別為A,B,直線x=t(-2<t<2)與橢圓相交于M,N兩點,經(jīng)過三點A,M,N的圓與經(jīng)過三點B,M,N的圓分別記為圓C1與圓C2
(1)求證:無論t如何變化,圓C1與圓C2的圓心距是定值;
(2)當t變化時,求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
4
+y2=1
,過E(1,0)作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A,B,C,D四點,已知kABkCD=-
1
4

(1)若AB的中點為M,CD的中點為N,求證:①kOMkON=-
1
4
為定值,并求出該定值;②直線MN過定點,并求出該定點;
(2)求四邊形ACBD的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓
x2
4
+y2=1
,弦AB所在直線方程為:x+2y-2=0,現(xiàn)隨機向橢圓內(nèi)丟一粒豆子,則豆子落在圖中陰影范圍內(nèi)的概率為
π-2
π-2

(橢圓的面積公式S=π•a•b,其中a是橢圓長半軸長,b是橢圓短半軸長)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•朝陽區(qū)三模)已知橢圓
x2
4
+y2=1
的焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上一點,且∠F1PF2=90°,則點P的縱坐標可以是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x24
+y2=1
,過點M(-1,0)作直線l交橢圓于A,B兩點,O是坐標原點.
(1)求AB中點P的軌跡方程;
(2)求△OAB面積的最大值,并求此時直線l的方程.

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