Question

若f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，則f₂₀₀₉′（x）=________．

Answer 1

cosx
分析：由題意對(duì)函數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)呈周期性的變化，且其周期是4，故只須研究清楚f₂₀₀₉（x）是一個(gè)周期中的第幾個(gè)函數(shù)即可得出其解析式．
解答：由題意f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀^′（x）=cosx，f₂（x）=f₁^′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂^′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃^′（x）=sinx，由此可知，在逐次求導(dǎo)的過程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開始計(jì)，周期是4，
∵2009=4×502+1，f₂₀₀₉（x）是一周中的第一個(gè)函數(shù)，故f₂₀₀₉（x）=cosx
故答案為cosx
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，探究過程中用的是歸納推理，對(duì)其前幾項(xiàng)進(jìn)行研究得出規(guī)律，求解本題的關(guān)鍵一是要?dú)w納推理的意識(shí)，一是對(duì)正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法公式熟練掌握．本題易因?yàn)榕袛嗖粶?zhǔn)f₂₀₀₉（x）一周期中的第幾個(gè)數(shù)而導(dǎo)致錯(cuò)誤，要謹(jǐn)慎．