Question

【題目】已知直線的方程為．

（1）當(dāng)時(shí)，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）證明：不論取何值，直線恒過第四象限．

（3）當(dāng)時(shí)，求直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）將代入可得直線方程，分別求得與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）將直線方程變形，解方程組即可確定直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其恒過第四象限.

（3）將代入可得直線方程，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)可知兩個(gè)點(diǎn)在直線同一側(cè)，可先求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為的坐標(biāo)，即可由兩點(diǎn)間距離公式求得最短距離.

（1）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，

令，得；

令，得，

所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．

（2）證明：將直線的方程整理得，

由，得，

所以直線恒過點(diǎn)，

所以不論取何值，直線恒過第四象限．

（3）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，定點(diǎn)，在直線的同一側(cè)，其中關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，

所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，距離之和為，

所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，

此時(shí)．