Question

已知橢圓Γ：(a＞b＞0)經(jīng)過D(2，0)，E(1，)兩點(diǎn).

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)若直線與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)射線OG交Γ于點(diǎn)Q，且.

①證明：

②求△AOB的面積.

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

試題分析：(1)由已知M是PD的中點(diǎn)，利用P點(diǎn)在圓上，可以求出M的點(diǎn)軌跡方程為；(2)點(diǎn)Q在(1)中的橢圓上，G是OQ的中點(diǎn)，利用直線與橢圓的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可找到k與m的關(guān)系，并進(jìn)一步求出三角形AOB的面積.

試題解析：(1)由題意，得，解得

∴軌跡Γ的方程為； 5分

(2)①令

由消去y

得 6分

∴，即 (1)

∴

又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

將代入橢圓方程，有

化簡得： (2) 9分

②由(1)(2)得

且 (3)

在△AOB中， (4) 12分

∴由(2)(3)(4)可得

∴△AOB的面積是 13分

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)軌跡，直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角形的面積.