Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，
（1）      判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2） 判斷的單調(diào)性,并說明理由。（不需要嚴格的定義證明,只要說出理由即可）
（3） 若，方程是否有根？如果有根，請求出一個長度為1的區(qū)間，使；如果沒有，請說明理由。（注：區(qū)間的長度＝）

Answer 1

（1） 為奇函數(shù)，證明：見解析；
（2）時，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減。
（3）方程有根。

試題分析：(1)根據(jù)f(-x)=-f(x)可知此函數(shù)是奇函數(shù)。
（2）      分a>1和0<a<1兩種情況研究即可。a>1時，是兩個增函數(shù)的和，0<a<1時，是兩個減函數(shù)的和。
從而確定其單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)系。
(3) 當，，又,再令,
然后判斷g(-1),g(0)的值，從而判斷y=g(x)在(-1,0)上是否存在零點,從而達到證明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。
（1）   為奇函數(shù)……………………１分
證明：∵的定義域為R，關(guān)于原點對稱  …………………2分
又 …………………………………………３分
所以可知為奇函數(shù)……………………………………………４分
（2） ∵＝
① 當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞增…………………………………………………６分
②當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以單調(diào)遞減。
綜上可知時，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減。
………………………………………………８分
（3）當，，又
設(shè)…………………………………９分
∵ ………………………………………………１０分
∴ ，故存在零點
即方程有根……………………………………………１２分
點評：掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法：一要看定義域是否關(guān)于原點對稱，二要看f(-x)與f(x)的關(guān)系。
要掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，它是證明抽象函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)。函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系要搞清楚，它是實現(xiàn)根與零點的判斷轉(zhuǎn)化的依據(jù)。