Question

設(shè)a＞0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的單調(diào)性．

Answer 1

分析：求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞），討論a=1，a＞1與0＜a＜1三種情形，然后利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系求出單調(diào)性．

解答：解：定義域{x|x＞0}
f′（x）=

1

x

+2a(1-a)x-2(1-a)=

2a(1-a)x2-2(1-a)x+1

x

設(shè)g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，則g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②若a＞1則2a（1-a）＜0，g（x）的圖象開口向下，
此時(shí)△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根
不等的實(shí)根為x₁=

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，x₂=

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

且x₁＜0＜x₂
∴在（0，

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
③若0＜a＜1則2a（1-a）＞0，g（x）的圖象開口向上，
此時(shí)△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知當(dāng)

1

3

≤a＜1時(shí)，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜

1

3

時(shí)，△＞0，方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根
不等的實(shí)根滿足

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

＞

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

＞0
故在（0，

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）和（

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．