Question

已知A、B、C、D是球面上四點(diǎn)，若AB=AC=，BD=DC=CB=2，二面角A-BC-D的平面角等于150°，則該球的表面積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   7π
4. D.
   9π

Answer 1

B
分析：由題設(shè)知四面體ABCD中，AB=AC=，BD=DC=CB=2，設(shè)等邊△BDC的外接圓的圓心為E，BC中點(diǎn)為H，球心為O，設(shè)球半徑為r，則由題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出，且，由此解得y=1，從而求出r，由此能夠求出球的表面積．
解答：解：由題設(shè)知四面體ABCD中，AB=AC=，BD=DC=CB=2，
如圖，設(shè)等邊△BDC的外接圓的圓心為E，BC中點(diǎn)為H，球心為O，設(shè)球半徑為r，
則Rt△OEB中，∠OEB=90°，
∵BD=DC=CB=2，AB=AC=，
∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角，故∠AHE=150°，
DE===，HE=，
∴，…①
作AI⊥DH，交DH延長(zhǎng)線與I，則AH=1，HE=，OA=r，∠AHT=180°-∠AHE=30°，
∴AI=，IE=IH+HE=，
∴，…②
由①②得，解得y=1，
∴r==，
∴球的表面積S=4π=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積的求法，具體涉及到錐錐的結(jié)構(gòu)特征、二面角的平面角、余弦定理、三角形性質(zhì)、球的簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化空間幾何問(wèn)題為平面幾何問(wèn)題．