Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx²在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0
（Ⅰ）（ⅰ）求f（x）的表達式；
（ⅱ）對于函數(shù)y=e^x，曲線y=e^x在與坐標軸交點處的切線方程為y=x+1，由于曲線y=e^x在切線y=x+1的上方，故有不等式e^x≥x+1．類比上述推理，對于函數(shù)f（x），直接寫出一個相類似的結論（不需證明）．
（ II）若f（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱f（x）是g（x）的一個“上界函數(shù)”，如果函數(shù)f（x）為g（x）=

t

x

-lnx（t∈R）的一個“上界函數(shù)”，求t的取值范圍；
（Ⅲ）當m＞0時，討論F（x）=f（x）+

x2

2

-

m2+1

m

x在區(qū)間（0，2）上極值點的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）（ⅰ）利用導數(shù)的幾何意義，求得函數(shù)的切線方程，比較系數(shù)即可得出a、b的值，寫出函數(shù)解析式；
（ⅱ）由題意類比即可寫出結論；
（Ⅱ）根據(jù)上界函數(shù)的定義，可得f（x）≥g（x）恒成立即2lnx-

t

x

≥0恒成立，所以 t≤2xlnx恒成立，利用導數(shù)求得函數(shù)h（x）=2xlnx的最小值，即可得出結論；
（Ⅲ）由極值的定義，對m分類討論，利用導數(shù)即可研究函數(shù)的極值．

解答： 解：（ I）（ⅰ）因為f′(x)=

a

x

+2bx，且切點為（1，b），所以切線方程為y=（a+2b）（x-1）+b，
因為切線為y=x-1，所以a=1，b=0，∴f（x）=lnx…（3分）
（ⅱ）對于函數(shù)f（x）=lnx，有不等式lnx≤x-1成立．…（6分）
（ II）因為f（x）≥g（x）恒成立即2lnx-

t

x

≥0恒成立，所以 t≤2xlnx恒成立
令h（x）=2xlnx，∴h′（x）=2lnx+2函數(shù)遞減區(qū)間為(0，

1

e

)，遞增區(qū)間為(

1

e

，+∞)
所以h(x)min=h(

1

e

)=-

2

e

，故t≤-

2

e

…（10分）
（Ⅲ）F′(x)=

1

x

+x-

m2+1

m

=

mx2-(m2+1)x+m

mx

=

(mx-1)(x-m)

mx

當

1

2

＜m＜1或1＜m＜2時，F(xiàn)（x）在（0，2）上有一個極大值點和一個極小值點…（12分）
當0＜m≤

1

2

或m≥2時，F(xiàn)（x）在（0，2）上有一個極大值點，無極小值點…（14分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等知識，考查學生的分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，考查分類討論思想及等價轉化思想的運用能力，屬于難題．