Question

20．三角形ABC中角A、B、C對邊分別為a、b、c，且a=2，b=3，c=4．若長度為4的動線段PQ的中點恰為A點，則$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值是（　�。�

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{11}{2}$
• C． $\frac{21}{2}$
• D． $\frac{29}{2}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式計算函數(shù)的最大值．

解答 解在△ABC中，由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
以AB所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（4，0），C（$\frac{21}{8}$，$\frac{3\sqrt{15}}{8}$）．
∵A為動直線PQ的中點，且PQ=4，
∴PQ為以A為圓心，以2為半徑的圓的直徑．
設(shè)P（2cosα，2sinα），則Q（-2cosα，-2sinα）．
∴$\overrightarrow{BP}$=（2cosα-4，2sinα），$\overrightarrow{CQ}$=（-2cosα$-\frac{21}{8}$，-2sinα-$\frac{3\sqrt{15}}{8}$）．
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$=（2cosα-4）（-2cos$α-\frac{21}{8}$）-2sinα（2sinα+$\frac{3\sqrt{15}}{8}$）
=$\frac{11}{4}cosα$-$\frac{3\sqrt{15}}{4}sinα$+$\frac{13}{2}$=4cos（α+φ）+$\frac{13}{2}$．
∴當(dāng)cos（α+φ）=1時，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取得最大值4+$\frac{13}{2}$=$\frac{21}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，使用坐標(biāo)法是常用方法之一．