Question

12．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，S_n=4a_n-1+2，
（1）求a₂，a₃；
（2）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，S_n=4a_n-1+2代入可得a₂=5，a₃=16；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1=4a_n+2，S_n=4a_n-1+2，從而可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），從而求通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=4a_n-1+2，
∴a₂+1=4×1+2，
∴a₂=5，
∴a₃+6=4×5+2，
∴a₃=16；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1=4a_n+2，S_n=4a_n-1+2，
兩式作差可得，
a_n+1=4a_n-4a_n-1，
故a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
又∵b₁=a₂-2a₁=3，b₂=a₃-2a₂=6，
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
∴b_n=3•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推法的應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了等比數(shù)列的判斷與性質(zhì)應(yīng)用．