分析 (1)化簡二次函數(shù)f(x),利用配方法求解二次函數(shù)的值域即可.
(2)化簡二次函數(shù)f(x)=(x-sinθ)2+$\frac{1}{4}$-sin2θ,通過函數(shù)的單調(diào)性,推出函數(shù)單調(diào)減時sinθ≥$\frac{1}{2}$,單調(diào)增時sinθ≤-$\frac{1}{2}$,求解即可.
(3)判斷函數(shù)在[2,3]上單調(diào)遞增,求出最值,得到|f(x1)-f(x2)|的最值,推出不等式求解t即可.
解答 解:(1)二次函數(shù)f(x)=x2-2sinθx+$\frac{1}{4}$,θ=$\frac{π}{6}$,
可得:f(x)=x2-x+$\frac{1}{4}$=(x-$\frac{1}{2}$)2∈[0,$\frac{9}{4}$].
函數(shù)的值域為:[0,$\frac{9}{4}$].
(2)由題意二次函數(shù)f(x)=x2-2sinθx+$\frac{1}{4}$=(x-sinθ)2+$\frac{1}{4}$-sin2θ,
函數(shù)f(x)在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}}$]上是單調(diào)函數(shù),
∴函數(shù)單調(diào)減時sinθ≥$\frac{1}{2}$,單調(diào)增時sinθ≤-$\frac{1}{2}$,$所以θ的取值集合為[{\frac{π}{6}+2kπ,\left.{\frac{5π}{6}+2kπ}]}\right.或[{\frac{7π}{6}+2kπ,\left.{\frac{11π}{6}+2kπ}]}\right.(k∈{Z})$.
(3)因為對稱軸x=sinθ≤1,所以函數(shù)在[2,3]上單調(diào)遞增,
從而|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min
=f(3)-f(2).
=5-2sinθ≤2sinθt2+8t+5,所以(1+t2)sinθ+4t≥0,對任意θ∈R恒成立,
即$\frac{-4t}{{1+{t^2}}}≤sinθ,\frac{-4t}{{1+{t^2}}}≤{(sinθ)_{min}}=-1$,
所以t2-4t+1≤0,則t的取值范圍:$[{\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}}\right.,\left.{\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}}]$.
點評 本題考查二次函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立,考查分類討論思想以及轉化思想的應用,考查計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
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