Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+3，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2a_n+3，n∈N^*．變形為a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（Ⅱ）由（I）可得a_n=2ⁿ⁺¹-3，因此na_n=n•2ⁿ⁺¹-3n．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1=2a_n+3，n∈N^*．∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，公比為2，首項為4．
（Ⅱ）解：由（I）可得：a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴a_n=2ⁿ⁺¹-3，
∴na_n=n•2ⁿ⁺¹-3n．
設數(shù)列{n•2ⁿ⁺¹}的前n項和為A_n，
則A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
2A_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴數(shù)列{na_n}的前n項和S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-$\frac{3n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．