Question

如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的大��；
（Ⅲ）求四棱錐P-ACDE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證平面PCD⊥平面PAC，只需證明平面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可；
（Ⅱ）過點A作AH⊥PC于H，說明∠PBO為所求角，然后解三角形求直線PB與平面PCD所成角的大小，也可以利用空間直角坐標系，求出向量，平面PCD的一個法向量，計算，即可．
（Ⅲ）直接求出底面面積和高，再求四棱錐P-ACDE的體積．
解答：解：（Ⅰ）證明：因為∠ABC=45°，AB=2，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：，解得，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，

所以在平面PAC內(nèi)，過點A作AH⊥PC于H，
則AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD內(nèi)，所以AB平行于平面PCD，
所以點A到平面PCD的距離等于點B到平面PCD的距離，過點B作BO⊥平面PCD于點O，
則∠BPO為所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，
所以，即∠BPO=30°，
所以直線PB與平面PCD所成角的大小為30°；

另解：（Ⅱ）因為△PAB為等腰三角形，所以
又AB∥CD，所以點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離．
由CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，，所以PC=4．
故PC邊上的高為2，即點A到平面的距離，即點點B到平面PCD的距離為2．
設直線PB與平面PCD所成的角為θ，則，
又，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB，AC，AP兩兩互相垂直，
分別以AB，AC，AP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
由△PAB為等腰直角三角形，所以，
而，則
因為AC∥ED，CD⊥AC，所以四邊形ACDE是直角梯形．
因為AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，所以∠BAE=135°，∠CAE=45°，
故，所以．
因此，設是平面PCD的一個法向量，
則，解得x=0，y=z．取y=1，得，
而．
設θ表示向量與平面PCD的法向量所成的角，則
因此直線PB與平面PCD所成角的大小為；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四邊形ACDE的面積為，所以四棱錐P-ACDE的體積為=．
點評：本題主要考查空間中的基本關系，考查線面垂直、面面垂直的判定以及線面角和幾何體體積的計算，考查識圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力．