Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）當(dāng)m＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m=-1時，試問過點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=F（x）相切？說明理由．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間．
（II） 先表示出過點(diǎn)（2，5）與曲線y=g（x）相切的直線，進(jìn)而假設(shè)函數(shù)，可求得切線的條數(shù)．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx的定義域是（0，+∞）．          
∵f′（x）=x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$=$\frac{（x+\sqrt{m}）（x-\sqrt{m}）}{x}$              
令f′（x）=0得：x=$\sqrt{m}$或x=-$\sqrt{m}$（舍去）．        
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{m}$，∴此時f（x）是增函數(shù)；
由f′（x）＜0得0＜x＜$\sqrt{m}$，∴f（x）是減函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（=$\sqrt{m}$，+∞），減區(qū)間是（0，$\sqrt{m}$）．
（II）設(shè)切點(diǎn)為（x₁，y₁）
當(dāng)n=-1時，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+2，
切線方程為y-5=（$\frac{1}{{x}_{1}}$+2）（x-2），切點(diǎn)在y=F（x）上，即y₁=lnx₁+2x₁，
∴l(xiāng)nx₁+2x₁-5=（$\frac{1}{{x}_{1}}$+2）（（x₁-2），
即lnx₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-2=0，
令$h（x）=lnx+\frac{2}{x}-2$
∴${h}^{/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$，
由h′（x）=0可得，x=2，
由h′（x）＞0得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=2時，函數(shù)h（x）取得極小值同時也是最小值，
∵h(yuǎn)（2）=ln2-1＜0，且h（$\frac{1}{e}$）=2e-3＞0，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
∴h（x）與x軸有兩個交點(diǎn)∴過點(diǎn)（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．