Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分別是AA₁和B₁C的中點．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點F，連結(jié)EF，AF，由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征和中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形，故DE∥AF，由等腰三角形的性質(zhì)可得AF⊥BC，故DE⊥BC；
（2）把△BCE看做棱錐的底面，則DE為棱錐的高，求出棱錐的底面積和高，代入體積公式即可求出．

解答 證明：（1）取BC中點F，連結(jié)EF，AF，則EF△BCB₁的中位線，∴EF∥BB₁，EF=$\frac{1}{2}$BB₁，
∵AD∥BB₁，AD=$\frac{1}{2}$BB₁，∴EF∥AD，EF=AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴DE∥AF，
∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．
（2）∵BB₁⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴BB₁⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AF⊥平面BCC₁B₁，∴DE⊥平面BCC₁B₁，
∵AC=5，BC=6，∴CF=$\frac{1}{2}BC$=3，∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=4，∴DE=AF=4
∵BC=BB₁=6，∴S_△BCE=$\frac{1}{4}B{C}^{2}$=9．
∴三棱錐E-BCD的體積V=$\frac{1}{3}$S_△BCE•DE=$\frac{1}{3}×9×4$=12．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．