Question

7．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，PD=2PA．
（1）證明：CD⊥平面PAC；
（2）若E為AD的中點，求證：CE∥平面PAB．
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，又由于PC⊥CD故而CD⊥平面PAC；
（2）由（1）知AC⊥CD，由△ABC是等腰直角三角形及直角梯形的性質(zhì)可求出∠CAD=∠CDA=45°，從而CE⊥AD，故CE∥AB，得出CE∥平面PAB；
（3）由（2）可求得底面梯形ABCD的面積，由PD=2PA及勾股定理可求得PA的長，代入體積公式即可求出體積．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PC⊥CD，PA?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩PC=P，
∴CD⊥平面PAC．
（2）∵CD⊥平面PAC，AC?平面PAC，
∴CD⊥AC，即∠ACD=90°，
∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CDA=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∵E是AD中點，∴CE⊥AD，
又∵AB⊥AD，∴CE∥AB，∵AB?平面PAB，CE?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（3）∵AB∥CE，AD∥BC，AB=BC，AB⊥BC，
∴四邊形ABCE是矩形，∴AD=2BC=2，
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+2）×1=$\frac{3}{2}$．
∵PD=2PA，AD=2，PA²+AD²=PD²，∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD•PA=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的判定，棱錐的體積計算，考查數(shù)形結(jié)合，推理運算能力，屬于中檔題．