Question

16．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos²A=2a，則角A的最大值是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 asinAsinB+bcos²A=2a，利用正弦定理可得：sinAsinAsinB+sinBcos²A=2sinA，化為sinB=2sinA，再利用正弦定理可得：b=2a．利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵asinAsinB+bcos²A=2a，
∴sinAsinAsinB+sinBcos²A=2sinA，
∴sinB=2sinA，∴b=2a．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{3}{4}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}^{2}{c}^{2}}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=c時(shí)取等號．
又A∈（0，π），∴$0＜A≤\frac{π}{6}$．
∴角A的最大值是$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．