Question

8．已知數(shù)列{b_n}滿足$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_n}{2^3}+…+\frac{b_n}{2^n}=n（{n∈{N^*}}）$，${b_n}={2^{{a_n}-1}}$，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前7項(xiàng)和S₇=$\frac{187}{64}$．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{1}}{2}$=1，即b₁=2，
∵$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_n}{2^3}+…+\frac{b_n}{2^n}=n（{n∈{N^*}}）$，①，
當(dāng)n≥2時(shí)，
$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n}-1}{{2}^{n-1}}$=n-1，②，
由①-②可得$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴b_n=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
∴b_n=2ⁿ，
${b_n}={2^{{a_n}-1}}$=2ⁿ．
∴a_n-1=n
∴a_n=n+1，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和S_n，
∴S_n=2×（$\frac{1}{2}$）¹+3×（$\frac{1}{2}$）²+…+n×（$\frac{1}{2}$）^n-1+（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
$\frac{1}{2}$S_n=2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
由①-②可得
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{2}$+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{2}$×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴S₇=3-$\frac{10}{{2}^{7}}$=$\frac{187}{64}$，
故答案為：$\frac{187}{64}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題