Question

（本小題共12分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值.

Answer 1

（1）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  
（2）．

試題分析：（1）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， 
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  
（2）∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．
則平面BQC的法向量為；，，
，．
設，則，，
∵，
∴ ， ∴    
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量為．
∵二面角M-BQ-C為30，
∴ ．
點評：高考中�？疾榭臻g中平行關系與垂直關系的證明以及幾何體體積的計算，這是高考的重點內容.證明的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關的判定定理與性質定理.