【題目】已知a R, a0,函數(shù) f (x) eax1 ax ,其中常數(shù)e .
(1)求 f (x) 的最小值;
(2)當(dāng)a ≥1時(shí),求證:對(duì)任意 x0 ,都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.
【答案】(1)0;(2)證明見詳解.
【解析】
(1)求導(dǎo),對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論,從而求得最小值;
(2)將不等式恒成問(wèn)題,進(jìn)行轉(zhuǎn)換,結(jié)合(1)中的結(jié)論,構(gòu)造新的函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最值的問(wèn)題即可.
(1)因?yàn)?/span>,則,
故為R上的增函數(shù),令,解得
故當(dāng),單調(diào)遞減;
當(dāng),單調(diào)遞增,
則
故函數(shù)的最小值為0.
(2)證明:要證明xf (x) ≥ 2ln x 1
等價(jià)于證明
由(1)可知:,即
因?yàn)?/span>,故
故等價(jià)于證明
即
令,即證恒成立.
又
令,解得
故當(dāng),單調(diào)遞減;
當(dāng),單調(diào)遞增;
故
有因?yàn)?/span>,故
故即證.
即對(duì)任意 x0 ,都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若,且對(duì)任意,恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某游戲公司對(duì)今年新開發(fā)的一些游戲進(jìn)行評(píng)測(cè),為了了解玩家對(duì)游戲的體驗(yàn)感,研究人員隨機(jī)調(diào)查了300名玩家,對(duì)他們的游戲體驗(yàn)感進(jìn)行測(cè)評(píng),并將所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示,其中.
(1)求這300名玩家測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù);
(2)由于該公司近年來(lái)生產(chǎn)的游戲體驗(yàn)感較差,公司計(jì)劃聘請(qǐng)3位游戲?qū)<覍?duì)游戲進(jìn)行初測(cè),如果3人中有2人或3人認(rèn)為游戲需要改進(jìn),則公司將回收該款游戲進(jìn)行改進(jìn);若3人中僅1人認(rèn)為游戲需要改進(jìn),則公司將另外聘請(qǐng)2位專家二測(cè),二測(cè)時(shí),2人中至少有1人認(rèn)為游戲需要改進(jìn)的話,公司則將對(duì)該款游戲進(jìn)行回收改進(jìn).已知該公司每款游戲被每位專家認(rèn)為需要改進(jìn)的概率為,且每款游戲之間改進(jìn)與否相互獨(dú)立.
(i)對(duì)該公司的任意一款游戲進(jìn)行檢測(cè),求該款游戲需要改進(jìn)的概率;
(ii)每款游戲聘請(qǐng)專家測(cè)試的費(fèi)用均為300元/人,今年所有游戲的研發(fā)總費(fèi)用為50萬(wàn)元,現(xiàn)對(duì)該公司今年研發(fā)的600款游戲都進(jìn)行檢測(cè),假設(shè)公司的預(yù)算為110萬(wàn)元,判斷這600款游戲所需的最高費(fèi)用是否超過(guò)預(yù)算,并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),為其前項(xiàng)的和,且成等差數(shù)列.
(1)寫出、、的值,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)證明(1)中的猜想;
(3)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校實(shí)行選科走班制度,張毅同學(xué)的選擇是物理生物政治這三科,且物理在 A 層班級(jí),生物在 B 層班級(jí),該校周一上午課程安排如下表所示,張毅選擇三個(gè)科目的課各上一節(jié), 另外一節(jié)上自習(xí),則他不同的選課方法有( )
第一節(jié) | 第二節(jié) | 第三節(jié) | 第四節(jié) |
地理 B 層 2 班 | 化學(xué) A 層 3 班 | 地理 A 層 1 班 | 化學(xué) A 層 4 班 |
生物 A 層 1 班 | 化學(xué) B 層 2 班 | 生物 B 層 2 班 | 歷史 B 層 1 班 |
物理 A 層 1 班 | 生物 A 層 3 班 | 物理 A 層 2 班 | 生物 A 層 4 班 |
物理 B 層 2 班 | 生物 B 層 1 班 | 物理 B 層 1 班 | 物理 A 層 4 班 |
政治 1 班 | 物理 A 層 3 班 | 政治 2 班 | 政治 3 班 |
A.8 種B.10 種C.12 種D.14 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為__________元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生假期參與志愿服務(wù)活動(dòng)的情況,隨機(jī)調(diào)查了名男生,名女生,得到他們一周參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如右表(單位:人):
超過(guò)小時(shí) | 不超過(guò)小時(shí) | |
男 | ||
女 |
(1)能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間是否超過(guò)小時(shí)與性別有關(guān)?
(2)以這名學(xué)生參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間超過(guò)小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽查名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生中一周參與志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)間超過(guò)小時(shí)的人數(shù).
附:
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