Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}$≠0）與$\overrightarrow$夾角為30°，|$\overrightarrow$|=1，對(duì)任意t∈R，|$\overrightarrow$-t•$\overrightarrow{a}$|的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 對(duì)|$\overrightarrow$-t•$\overrightarrow{a}$|兩邊取平方，把|$\overrightarrow{a}$|看做常數(shù)，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$-t•$\overrightarrow{a}$|²=t²|$\overrightarrow{a}$|²-2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²t²-$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|t+1=|$\overrightarrow{a}$|²（t-$\frac{\sqrt{3}}{2|\overrightarrow{a}|}$）²+$\frac{1}{4}$．
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{2|\overrightarrow{a}|}$時(shí)，|$\overrightarrow$-t•$\overrightarrow{a}$|²取得最小值$\frac{1}{4}$，∴|$\overrightarrow$-t•$\overrightarrow{a}$|的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．