Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，相鄰兩對稱軸間的距離為π，若將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，所得的函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程2[g（x）]²-m[g（x）]+1=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不相等的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的奇偶性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）令t=g（x），則方程2t²-mt+1=0有2個[0，1]內(nèi)的實數(shù)根，顯然t≠0，故函數(shù)y=2t+$\frac{1}{t}$ 的圖象和直線y=m在t∈（0，1]內(nèi)有2個交點，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
相鄰兩對稱軸間的距離為π，
故$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1，f（x）=sin（x+φ），
將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{6}$+φ），
再根據(jù)所得函數(shù)為奇函數(shù)，可得-$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=sinx，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程2[g（x）]²-m[g（x）]+1=0在
區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不相等的實根，
令t=g（x）=sinx，則方程2t²-mt+1=0有兩個[0，1]
內(nèi)的實數(shù)根，顯然t=0時，方程不成立，故t≠0．
故有函數(shù)y=2t+$\frac{1}{t}$ 的圖象和直線y=m在t∈（0，1]內(nèi)有2個交點．
由y=2t+$\frac{1}{t}$，t∈（0，1]，函數(shù)y在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
當t趨于0時，y趨于正無窮大；當t趨于1時，y趨于3，當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y=2$\sqrt{2}$，
畫出y=2t+$\frac{1}{t}$，t∈（0，1]的圖象（如圖紅色部分），如圖所示：
故有2$\sqrt{2}$＜m≤3．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．