Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M在雙曲線上，且$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}$．則雙曲線C離心率的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{5}$+2
• B． $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)M在雙曲線的左支上，運(yùn)用雙曲線的定義，以及性質(zhì)可得$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$a≥a+c，運(yùn)用離心率公式即可得到最大值．

解答 解：由題意可設(shè)M在雙曲線的左支上，
由雙曲線的定義可得，|MF₂|-|MF₁|=2a，
由$\frac{|M{F}_{1}|}{|M{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}$，可得|MF₂|=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$a，
由雙曲線的性質(zhì)可得|MF₂|≥a+c，
即有$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a≥c，
即為e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
則離心率的最大值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．