Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點．
（Ⅰ） 若PA=AB=2，求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅱ）證明：BE⊥平面PAC；
（Ⅲ）如何在BC上找一點F，使AD∥平面PEF？并說明理由．

Answer 1

解；（1）∵PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，PA=AB=2，
∴V_P-ABC=S_△ABC×PA
=××2²×2
=．
（2）∵PA⊥底面ABC，BE?平面ABC，
∴PA⊥BE，
又∵△ABC為正三角形，E是CA的中點，
∴BE⊥AC，PA∩AC=A，PA、AC?平面ABC，
∴BE⊥平面ABC．
（3）取CD的中點F，EF∥AD，
又∵AD?平面PEF，EF?平面PEF，
∴AD∥平面PEF．
分析：（1）由于PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，PA=AB=2，由三棱錐P-ABC的體積公式即可得到答案；
（2）由于E是CA的中點，△ABC為正三角形，可得：BE⊥AC，PA⊥底面ABC，可得到：PA⊥BE，由線面垂直的判定定理即可得BE⊥平面PAC；
（3））取CD的中點F，EF∥AD，利用直線與平面平行的判定即可．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，著重考查直線與平面平行與垂直的判定定理及其應(yīng)用，考查學生應(yīng)用知識的嚴謹意識，屬于中檔題．