Question

設函數(shù)f(x)=ax+

a+1

x

 (a＞0)，g（x）=4-x，已知滿足f（x）=g（x）的x有且只有一個．
（1）求a的值，并證明函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若函數(shù)h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域為[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程f（x）=g（x）的x有且只有一個，得到關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，利用根的判別式等于0，可以求出a的值，得到函數(shù)f（x）的表達式，最后用函數(shù)單調性的定義可以證明出函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
（2）將（1）中f（x）和g（x）的表達式代入，得h(x)=k-4-

2

x

，不難得出它是（0，+∞）上為增函數(shù)，在[m，n]上的值域為[m，n]說明h（m）=m，h（n）=n成立，
從而轉化為一元二次方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）上有兩個不等的實根x₁，x₂．最后利用根與系數(shù)的關系與根的判別式建立不等式組，解之得k的取值范圍．

解答：解：（1）ax+

a+1

x

 =4-x，得（a+1）x²-4x+a+1=0（*）
由a＞0知x=0不是方程（*）的解，
故△=16-4（a+1）²=0，得a=1．…（2分）
設x₁＞x₂＞2，
可得：f(x1)-f(x2)=…=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0，…（4分）
所以，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)．…（5分）
（2）h(x)=k-4-

2

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，…（6分）
h（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，故有h（m）=m，h（n）=n，
所以h（x）=x在（0，+∞）上有兩個不等的實根．…（7分）
得方程：k-4-

2

x

=x，即x2-(k-4)x+2=0
在（0，+∞）上有兩個不等的實根x₁，x₂．
所以：

△=(k-4)2-8＞0 x1+x2=k-4＞0 x1x2=2＞0

，（9分）　
得k＞4+2

2

．…（11分）
所以k的取值范圍為(4+2

2

， +∞)…（12分）

點評：本題著重考查了函數(shù)的單調性與函數(shù)的值域，以及一元二次方程根的分布等等知識點，屬于中檔題．解題時應該注意運用等價轉化的思想和數(shù)形結合方法幫助理解．