已知橢圓C的焦點為F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，且過點A（3，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線y=x+2交橢圓C于M，N兩點，求線段MN的中點P坐標．
分析：（Ⅰ）設出橢圓的方程，將A的坐標代入橢圓的方程得到關于a，b的等式，再根據(jù)橢圓的三個參數(shù)的關系列出關于a，b，c的另一個等式，解方程組求出a，b的值即得到橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立，消去y，運用韋達定理，設而不求的技巧，可求得線段AB的中點坐標．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，c=2
2
，a2=b2+8
設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
即
x2
b2+8
+
y2
b2
=1，
∵點A（3，0）在橢圓上，
∴
32
b2+8
+
02
b2
=1，解得b2=1，
∴橢圓方程為：
x2
9
+y2=1；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組
x2
9
+y2=1
y=x+2
，消去y得10x2+36x+27=0，
設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），則x1+x2=-
18
5
，
∴x0=
x1+x2
2
=-
9
5
，y0=x0+2=
1
5
，
∴線段MN的中點P坐標為（-
9
5
，
1
5
）．
點評：本題考查了橢圓標準方程的求法，以及直線與橢圓的位置關系，簡單運用韋達定理，設而不求解決問題，同時考查了運算求解的能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），B是它的下頂點，F(xiàn)是其右焦點，BF的延長線與橢圓及其右準線分別交于P、Q兩點，若點P恰好是BQ的中點，則此橢圓的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當
FA
=λ
AP
時，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，且當直線l垂直于x軸時，OA•OB=
56
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準線上可以找到一點P，滿足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F(0，-
2
)，點M(1，
2
)在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點，求△MAB的面積
（Ⅲ）設P為橢圓C上一點，若∠PMF=90°，求P點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為
2
2
，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是
2
．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）設直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

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