Question

若函數(shù)f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值g（a）＞5．
（1）求g（a）的表達(dá)式；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

x2-x+a2+a+2，x＜1-a x2+x+a2+3a，x≥1-a

，分①當(dāng)1-a≥

1

2

，即a≤

1

2

時，②當(dāng)1-a≤-

1

2

，即a≥

3

2

時，③當(dāng)-

1

2

＜1-a＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

3

2

時，三種情況分別求出g（a）的表達(dá)式；
和滿足條件的a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

x2-x+a2+a+2，x＜1-a x2+x+a2+3a，x≥1-a

，
①當(dāng)1-a≥

1

2

，即a≤

1

2

時，
f（x）在x＜

1

2

時為減函數(shù)，在x＞

1

2

時為增函數(shù)，
故g（a）=f（

1

2

）=a²-a+

7

4

＞5，
解得：a＜

1- 14

2

；
②當(dāng)1-a≤-

1

2

，即a≥

3

2

時，
f（x）在x＜-

1

2

時為減函數(shù)，在x＞-

1

2

時為增函數(shù)，
故g（a）=f（-

1

2

）=a²+3a-

1

4

＞5，
解得：a≥

3

2

，
③當(dāng)-

1

2

＜1-a＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

3

2

時，
f（x）在x＜1-a時為減函數(shù)，在x＞1-a時為增函數(shù)，
故g（a）=f（1-a）=2a²+2＞5，
解得：

6

2

＜a＜

3

2

，
（1）故g（a）=

a2-a+ 7 4 ，a≤ 1 2 2a2+2， 1 2 ＜a＜ 3 2 a2+3a- 1 4 ，a≥ 3 2

（2）a的取值范圍為：（-∞，

1- 14

2

）∪（

6

2

，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，分段函數(shù)解析式的求法，運(yùn)算量大，分類復(fù)雜，屬于中檔題．