Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

x+1

，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1在（0，+∞）上有零點(diǎn)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=1代入，結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性，可得f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，則f（x）=ax+

x+1

≥x-1在[-1，+∞）上恒成立，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1在（0，+∞）上有零點(diǎn)，利用換無(wú)法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+

x+1

的定義域?yàn)閇-1，+∞），
由y=x和y=

x+1

均為增函數(shù)，
故f（x）=x+

x+1

為增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取最小值-1，
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，
則f（x）=ax+

x+1

≥x-1在[-1，+∞）上恒成立，
即（a-1）x+

x+1

+1≥0在[-1，+∞）上恒成立，
令t=

x+1

，則x=t²-1，（t≥0），
則（a-1）（t²-1）+t+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
當(dāng)a=1時(shí)，t+1≥1滿足條件，
當(dāng)a≠1時(shí)，若（a-1）（t²-1）+t+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
則

a-1＞0 2-a≥0

，解得：1＜a≤2，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，2]，
（3）令h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1=0
即x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，
令t=x+

1

x

，則方程可化為t²+at+b-2=0，t≥2，
設(shè)令g（t）=t²+at+b-2=0，t≥2，
當(dāng)-

a

2

＞2，即a＜-4時(shí)，只需△=a²-4b+8≥0，此時(shí)，a²+b²≥16；
當(dāng)-

a

2

≤2，即a≥-4時(shí)，只需4+2a+b-2≤0，即2a+b+2≤0，此時(shí)a²+b²≥

4

5

．
綜上所述a²+b²的最小值為

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，函數(shù)的單調(diào)性和最值，線性規(guī)劃，是函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．