【題目】設(shè)函數(shù)，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由。

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)（表示中的較小者），求的最大值。

【答案】(1) .

(2) 時，方程在內(nèi)存在唯一的根.證明見解析.

(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得；（Ⅱ）求出的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點(diǎn)存在定理，即可判斷存在；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得的解析式，通過的最大值，即可得到所求．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，

又所以．

（Ⅱ）時，方程在內(nèi)存在唯一的根．

設(shè)

當(dāng)時， ．

又

所以存在，使．

因為所以當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

所以當(dāng)時， 單調(diào)遞增．

所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時， ， 時， ，所以．

當(dāng)時，若

若由可知故

當(dāng)時，由可得時， 單調(diào)遞增； 時， 單調(diào)遞減；

可知且．

綜上可得函數(shù)的最大值為．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25，按此規(guī)律取下去，得到一個子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則在這個子數(shù)中第2014個數(shù)是（ ）

A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)x=0處的切線斜率為1，求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最值；
（2）令g（x）=f（x）+ （x2﹣a2），若x≥0時，g（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0且x＞0時，證明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．

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【題目】閱讀如圖的程序框圖，若運(yùn)行此程序，則輸出S的值為 ．

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【題目】某校的學(xué)生文娛團(tuán)隊由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如表所示：

組別

文科

理科

性別

男生

女生

男生

女生

人數(shù)

3

1

3

2

學(xué)校準(zhǔn)備從該文娛團(tuán)隊中選出4人到某社區(qū)參加大型公益活動演出，每選出一名男生，給其所在的組記1分；每選出一名女生，給其所在的組記2分，要求被選出的4人中文科組和理科組的學(xué)生都有．
（I）求理科組恰好得4分的概率；
（II）記文科組的得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ． （I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若不等式f（x）＞ 恒成立，求整數(shù)k的最大值；
（III）求證：（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，已知都是邊長為的等邊三角形，為中點(diǎn)，且平面，為線段上一動點(diǎn)，記．

（1）當(dāng)時，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時，求的值．

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【題目】下列說法不正確的是（ ）

A. 方程有實(shí)根函數(shù)有零點(diǎn)

B. 有兩個不同的實(shí)根

C. 函數(shù)在上滿足，則在內(nèi)有零點(diǎn)

D. 單調(diào)函數(shù)若有零點(diǎn)，至多有一個

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（Ⅱ）求三棱錐P﹣ABC的體積；
（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．

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