Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），bn=an•2n-1，則{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由na_n+1=S_n+n結(jié)合通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為a_n+1-a_n=2（n≥2）再由等差數(shù)列的定義求解a_n代入整理得{b_n}是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的形式，用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答： 解：∵na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2），
a₁=2，a₂=S₁+2，
∴a₂-a₁=2，
∴{a_n}等差數(shù)列，
∴a_n=2n
∴bn=an•2n-1=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴T_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2•2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．
故答案為：T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與通項(xiàng)公式和求和方法，這里涉及了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系及錯(cuò)位相減法，這是數(shù)列考查中�？汲Ｐ碌膯�(wèn)題，要熟練掌握．