Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x-4）²+（y-3）²=4，點(diǎn)A、B在圓C上，且|AB|=2$\sqrt{3}$，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的最小值是8．

Answer 1

分析 設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$的模，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．

解答 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則CD=1，
延長(zhǎng)CD交圓C于點(diǎn)E，則D為CE的中點(diǎn)，
∵$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}}|$=$|{2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}}|$，
設(shè)E（4+2cosθ，3+2sinθ），
∴$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{（8，6）+（2cosθ，2sinθ）}|$
=|（8+2cosθ，6+2sinθ）|
=$\sqrt{{{（8+2cosθ）}^2}+{{（6+2sinθ）}^2}}$
=$\sqrt{104+8（3sinθ+4cosθ）}$
=$\sqrt{104+40sin（θ+φ）}≥\sqrt{104-40}=8$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的運(yùn)算，考查三角函數(shù)問(wèn)題，是一道中檔題．